群值玻尔兹曼机中的语境性、和乐与离散纤维丛

我们提出了一种受限玻尔兹曼机 (RBM) 的几何扩展，允许权重取值于抽象群，如 $\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$、$\mathrm{SU}(2)$ 甚至无限维算子群。这种推广能够建模复杂的关系结构，包括射影变换、旋量动力学和泛函对称性，并直接应用于视觉、语言和量子学习。本工作的一个核心贡献是引入了一种基于沿 RBM 图中环路计算的群值和乐的 \emph{语境性指数}。该指数量化了由局部权重引起的全局不一致性或“曲率”，推广了相干性、一致性和几何平坦性的经典概念。我们建立了其与层论语境性、规范理论以及非交换几何的联系，并提供了有限维和无限维下的数值与图示实例。该框架为 AI 开辟了新方向，从曲率感知学习架构到不确定或对抗环境中的拓扑正则化。