2x2空间填充曲线的构造、变换与结构

2x2空间填充曲线是一种广义空间填充曲线，其基本单元呈U形遍历2x2网格。在本工作中，我们提出了一个通用的框架，用于构造通用的2x2曲线，其中不严格要求自相似性。构造基于一套新颖的语法定义曲线从第0级（单个点）到第1级（U形单元）的扩展，从而最终决定任意第k级上所有$36 \times 2^k$可能的曲线形式，这些曲线初始化于单个点。我们进一步开发了一个编码系统，其中每个唯一的曲线形式与特定的初始种子和一序列代码相关联，这些代码充分描述了曲线的全局和局部结构。我们演示了这种编码系统是研究2x2曲线的强大工具，我们从以下三个关键视角在曲线上建立了全面的理论基础：1)我们提供了对任意单位在任意层级和位置的确定性编码，使我们能够跨越曲线上的任意部分和迭代范围的研究曲线生成；2)我们给出了各种曲线变换的确定性编码，包括旋转、反射和反转；3)我们提供了表现特定结构的曲线族的确定性形式，包括均匀曲线、相同形状的曲线、部分相同形状的曲线以及完全不同形状的曲线。我们还探索了递归曲线、子单元相同或不同形状的曲线、完全非递归曲线、对称曲线和封闭曲线的族。最后，我们提出了一种方法，以曲线层级的线性时间复杂度计算曲线上任意点的坐标。