通过同伦面积测量二维流形上曲线间的相似度

测量曲线的相似度是许多应用领域中出现的根本问题。无论是在欧几里得空间中，还是在更一般的设定下（例如黎曼曲面上的曲线或平面上扣除一组障碍物后的曲线），人们对几种此类度量都有着相当大的兴趣。然而，到目前为止，针对一般表面上曲线的高效可计算相似度度量仍然难以实现。本文旨在开发一种自然的曲线相似度度量，该度量可以轻松推广并计算一般可定向二维流形上的曲线。具体而言，我们基于将一条曲线连续形变为另一条曲线的困难程度来测量同伦曲线之间的相似度，并将这种“困难程度”定义为曲线间同伦所扫过的最小可能表面积。我们考虑了曲线嵌入在平面上或嵌入在亏格为 $g$ 的三角剖分可定向曲面上的情况，并针对这两种情况提出了高效算法（根据具体设定，时间复杂度为二次或近线性）。