利用牛顿法构造双曲多面体

我们演示如何利用牛顿法构造三维紧双曲多面体。在二面角非钝角的限制下，Andreev 定理为实现一个给定组合结构 $C$ 的紧双曲多面体的二面角给出了五类线性不等式的充要条件。Andreev 定理还表明所得多面体在双曲等距意义下唯一。我们的构造使用牛顿法和同伦，显式地跟随 Andreev 给出的存在性证明，既非常清晰地说明了 Andreev 定理的证明，也提供了一种构造具有非钝角二面角的三维紧双曲多面体的便捷方法。作为一个应用，我们构造了二面角为 $\pi$ 的（真）整数分之一的紧双曲多面体，使得由面反射生成的群 $\Gamma$ 是双曲空间的离散等距群。商 $\mathbb{H}^3/\Gamma$ 因而是一个紧双曲 3-轨道形，我们用 SnapPea 研究其双曲体积与闭测地长度谱。一个结果是得到了 Mednykh 和 Vesnin（见参考文献）所考虑的一个“超椭圆”流形的体积估计。