椭球颗粒静态堆积中的约束与振动

我们在一系列纵横比和压缩量 $\Delta \phi$ 下，数值研究了二维和三维空间中椭球颗粒静态堆积的力学性质。虽然处于堵塞起始点（$\Delta \phi=0$）的球形颗粒无序堆积是等静定的，并具有集体堵塞所需的最小接触数 $z_{\rm iso}$，但椭球颗粒的无序堆积通常具有比朴素计数论证预期的更少的接触数（$z < z_{\rm iso}$），后者假设所有接触都对颗粒间间距产生线性独立的约束。为了理解这种行为，我们将椭球颗粒静态堆积的动力学矩阵 $M=H-S$ 分解为两个重要分量：刚度矩阵 $H$ 和应力矩阵 $S$。我们发现，即使在有限压缩下，刚度矩阵也具有 $N(z_{\rm iso} - z)$ 个零特征值的本征模 ${\hat e}_0$，其中 $N$ 为颗粒数。此外，这些模 ${\hat e}_0$ 几乎是动力学矩阵的本征向量，其特征值按 $\Delta \phi$ 缩放，因此有限压缩稳定了椭球颗粒的堆积。在堵塞起始点，椭球颗粒静态堆积的谐波响应消失，且沿这些“四次”模 ${\hat e}_0$ 振幅为 $\delta$ 的扰动，其总势能按 $\delta^4$ 缩放。这些发现阐明了球形与椭球颗粒静态堆积之间的显著差异。