求解不可压缩流体流动的高阶精度无网格方法的一致性与收敛性

具有速度边界条件的不可压缩流动计算需要求解带有全诺伊曼边界条件的压力泊松方程。此类泊松方程的离散化会导致系数矩阵秩亏。当使用有限差分、有限元或谱格式等非守恒离散化方法时，该矩阵还会产生不一致性，使得迭代求解中的残差饱和于一个依赖于空间分辨率和离散化方案阶数的阈值水平。本文中，我们考察了一种适用于在复杂区域上求解方程的高阶无网格离散化方案的不一致性。该高阶无网格方法使用附加多项式的多调和样条径向基函数(PHS-RBF)来插值散乱数据，并通过配点法构造离散方程。PHS-RBF提供了通过提高附加多项式的次数来改变离散化阶数的灵活性。在本研究中，我们通过求解构造解对应的泊松方程以及若干流体流动的纳维-斯托克斯方程，考察了不同空间分辨率和不同附加多项式次数下该不一致性的收敛性。我们观察到，不一致性的下降速度快于最终解的误差，并在足够的空间分辨率下最终变得极小。不一致性的收敛速率被观察到与离散化误差的收敛速率相似或更快。这一有益观察使得无需通过固定平均压力或任意点压力来正则化泊松方程。简单的点求解器如SOR被观察到能良好收敛，尽管其可进一步通过多层方法加速。