守恒流密度、定域概率与 Klein-Gordon 场的新整体规范对称性

对于自由 Klein-Gordon 场，我们构造了一族含参数 $a\in(-1,1)$ 的守恒流密度 $J_a^\mu$，并用后者给出 Klein-Gordon 方程解空间上最一般正定且洛伦兹不变内积的显协变表达式。采用最近发展的构造 Klein-Gordon 场 Hilbert 空间与可观测量方法，我们得到 Klein-Gordon 场在空间定域化的概率流密度 ${\cal J}_a^\mu$。我们表明在非相对论极限下 $J_a^\mu$ 与 ${\cal J}_a^\mu$ 都趋于非相对论自由粒子空间定域化的概率流密度，但不同于 $J_a^\mu$，流密度 ${\cal J}_a^\mu$ 既非协变也不守恒。因总概率可通过在全空间积分这两流密度之一得到，总概率守恒可视为 $J_a^\mu$ 局域守恒的结果。后者是 Klein-Gordon 场先前未注意到的整体规范对称性的表现。若参数 $a$ 有理，相应规范群为 U(1)；若 $a$ 无理，则为正实数乘法群。我们也讨论结果到极小耦合电磁场的 Klein-Gordon 场的推广。