存在固定场时规范理论中的 Noether 定理与守恒流

我们将广义相对论中物质场守恒流的标准构造推广到一般规范理论。在原始构造中，与由 Killing 场 $h^\mu$ 生成的时空对称性相关联的守恒流由 $\sqrt{-g}\,T^{\mu\nu}h_\nu$ 给出，其中 $T^{\mu\nu}$ 是物质的能量-动量张量。我们证明，如果在一个具有一般 Noether 意义下规范对称性的拉格朗日场论中，某些基本场是固定的，并且在特定的无穷小规范变换下不变，那么就存在一个流 $\mathcal{B}^\mu$，它类似于 $\sqrt{-g}\,T^{\mu\nu}h_\nu$，并且当非固定场满足其 Euler-Lagrange 方程时守恒。$\mathcal{B}^\mu$ 的守恒可以看作是一个恒等式的推论，该恒等式是 $\nabla_\mu T^{\mu\nu}=0$ 的推广，并且是拉格朗日量规范对称性的结果。只要非固定场满足其 Euler-Lagrange 方程，该恒等式在固定场的任何构型下都成立。我们还证明，$\mathcal{B}^\mu$ 与相关的正则 Noether 流之差为一个恒等守恒流与一个当非固定场在壳时消失的项之和。作为例子，我们讨论了在固定引力与 Yang-Mills 背景下传播的一般（可能为费米子性）物质场的情况。我们发现，在这种情况下，$\nabla_\mu T^{\mu\nu}=0$ 的推广是洛伦兹定律 $\nabla_\mu T^{\mu\nu} - F^{a\nu\lambda}\mathcal{J}_{a\lambda} = 0$，该定律作为物质拉格朗日量的微分同胚、局部洛伦兹和 Yang-Mills 规范对称性的结果而成立。作为第二个简单例子，我们考虑了在由引力场和实标量场构成的背景下传播的一般场的情况。