与Collatz型动力系统相关的函数方程中奇点的守恒;或,Hydra映射的捕梦网
综合数学
2019-10-22 v3
摘要
已知 Collatz 猜想(以及对类似映射的研究,此处称为“Hydra 映射”)可以用函数方程的解集合来表述;或者等价地,用解析函数空间上线性算子的不动点来表述。我们不去研究此类算子的潜在不动点,而是考察它们对函数奇点的影响。为此,我们引入“捕梦网”(dreamcatcher)的概念,这是一种编码解析函数在收敛区域边界上特定增长率的奇点位置和“虚拟留数”的对象。捕梦网可以作为 L2(Q/Z) 希尔伯特空间中的元素获得严格基础,该空间是定义在 Q/Z 上关于计数测度平方可积的复值函数空间。上述线性算子(此处称为“置换算子”)被证明“守恒”其不动点的奇点,即不动点的捕梦网本身是置换算子诱导在 L2(Q/Z) 上的算子(“捕梦网算子”)的不动点。利用 Pontryagin 对偶和 p 进分析,对于一大类 Hydra 映射,在不动点在 Q/Z 上有限支撑的情况下,完全确定了作用于类简单极点奇点捕梦网的算子的不动点。这使得能够对那些 Hydra 映射在非负整数上的轨道类做出定性结论。
引用
@article{arxiv.1909.09733,
title = {Conservation of Singularities in Functional Equations Associated to Collatz-Type Dynamical Systems; or, Dreamcatchers for Hydra Maps},
author = {Maxwell Charles Siegel},
journal= {arXiv preprint arXiv:1909.09733},
year = {2019}
}