图与矩阵空间之间的联系

给定二部图 $G$，图矩阵空间 $\mathcal{S}_G$ 由这样的矩阵组成：其非零项只能位于对应于 $G$ 中边的那些位置。Tutte (J. London Math. Soc., 1947)、Edmonds (J. Res. Nat. Bur. Standards Sect. B, 1967) 和 Lov\'asz (FCT, 1979) 观察到 $G$ 中完美匹配与 $\mathcal{S}_G$ 中满秩矩阵之间的联系。Dieudonn\'e (Arch. Math., 1948) 证明了仅含奇异矩阵的那些矩阵空间维数的紧上界。本文的起点是这两个经典结果的一个同时推广：我们基于 Meshulam 对 Dieudonn\'e 结果的证明 (Quart. J. Math., 1985) 表明，$\mathcal{S}_G$ 中仅含奇异矩阵的子空间的最大维数等于 $G$ 中无完美匹配的子图的最大大小。从这一结果出发，我们进一步建立了图的性质与矩阵空间性质之间的更多联系。例如，我们建立了无环性与幂零性、强连通性与不可约性、以及同构与共轭/相合之间的联系。对每一种联系，我们研究三类对应，即基本对应、继承对应（针对子图与子空间）和诱导对应（针对诱导子图与限制）。某些对应导致了对经典结果的引人注目的推广，例如上述 Dieudonn\'e 结果，以及 Gerstenhaber 关于幂零矩阵空间最大维数的著名定理 (Amer. J. Math., 1958)。最后，我们展示了我们的结果对量子信息的一些启示，并提出了受这些结果启发而在计算复杂性方面的开放问题。