Bipartite rigidity、symmetric completability 和 hyperconnectivity 图的充分条件

我们考察了卡拉伊于 1985 年定义的三个 matroid：对循环完全图的边集合上的对称完成 matroid $\mathcal{S}_d$；对完全图的边集合上的 hyperconnectivity matroid $\mathcal{H}_d$；以及对完全二分图的边集合上的 birigidity matroid $\mathcal{B}_d$。这些 matroid arise in the study of low rank completion of partially filled symmetric、skew-symmetric 和 rectangular 矩阵。我们给出图 $G$ 具有这些 matroid 中可能最大秩的充分条件。对于 $\mathcal{S}_d$ 和 $\mathcal{H}_d$，我们的条件以 $G$ 的最小度数表示，且为最佳可能的条件。对于 $\mathcal{B}_d$，我们的条件以 $G$ 的连通性表示。我们的结果对 low-rank 矩阵的唯一 completability 有若干意义。特别是它们表明：几乎所有足够大的 $n \times n$ 半正定秩为 $d$ 的矩阵，都由任何包含其每行至少 $(n + d + 1)/2$ 个条目子集唯一确定；几乎所有 $m \times n$ 秩为 $d$ 的矩阵，都由其条目位置子集定义的包含 $K_{m,n}$ 的生成子图唯一确定，该子图是 $k_d$-连通的，其中 $k_d=\mbox{O}(d^3)$ 为某个常数。