关于 derangement 与 $r$-排列相关数的关系

对于非负整数参数 $r,u,m,n$ 定义\n\begin{align*}\n\cal{D}(r,u,m,n) &:= \big\{\ \sigma\in \cal{S}_{r+n}\ \big|\ \sigma(x)=y \textrm{ for exactly } u \textrm{ pairs } (x,y) \textrm{ such that } 1\leq x,y\leq r \textrm{ and } \sigma(t)=t \textrm{ for exactly } m \textrm{ elements } r+1\leq t\leq r+n\ \big\}\n\end{align*}\n和\n\begin{align*}\n\cal{D}_{r,u,m}(n) &:= \big\{\ \sigma\in \cal{S}_{r+n}\ \big|\ \forall_{1\leq x<y\leq r}\ x \textrm{ 和 } y \textrm{ 在 } \sigma \textrm{ 的互斥循环中，且 } \sigma(z)=z \textrm{ for exactly } u \textrm{ elements } 1\leq z\leq r, \textrm{ and } \sigma(t)=t \textrm{ for exactly } m \textrm{ elements } r+1\leq t\leq r+n\ \big\},\n其中 $\mathcal{S}_{n}$ 表示 \{1,\ldots ,n} 的所有置换集合。在本文中，我们研究集合 $\mathcal{D}(r,u,m,n)$、$\mathcal{D}_{r,u,m}(n)$ 与某些 $r$ -derangement 类集合之间的关系。我们主要依赖计数论。