Pisot 数的共轭

本文研究了 Pisot 数 $q \in (m, m+1)$（$m \geq 1$）的 Galois 共轭。特别地，我们猜想对于 $q \in (1,2)$，其所有共轭 $q'$ 满足 $|q'| \geq \frac{\sqrt{5}-1}{2}$。进一步，对于 $m \geq 3$，我们猜想所有 Pisot 数 $q \in (m, m+1)$ 满足 $|q'| \geq \frac{m+1-\sqrt{m^2+2m-3}}{2}$。对 $m=2$ 也提出了类似猜想。我们猜想所有这些界都是紧的。我们为该猜想提供了部分支持证据，这些证据兼具理论性与计算性。最后，我们将此猜想与关于由 $\beta$ 参数化的 Bernoulli 卷积维数的一个结果相联系，其中 $\beta$ 的共轭为一个 Pisot 数的倒数。