Fishburn 数的同余关系

Fishburn 数 $\xi(n)$ 由以下形式幂级数展开定义：$$\sum_{n=0}^\infty \xi(n)q^n = 1 + \sum_{n=1}^\infty \prod_{j=1}^n (1-(1-q)^j).$$ 对于一半的素数 $p$，存在一个位于 $[0,p-1]$ 内的非空集合 $T(p)$，使得如果 $j\in T(p)$，则对于所有 $n\geq 0$，$$\xi(pn+j)\equiv 0 \pmod{p}.$$