共形桥变换、$\mathcal{PT}$-与超对称

通过将共形桥变换（CBT）应用于乘以 $i$ 的一阶 Berry-Keating 哈密顿量及其共形中性扩充，我们研究了 1D 与 2D Swanson 模型的超对称扩充。CBT 起到 Dyson 映射的作用，将这些模型变换为 1D 与 2D 谐振子系统的超对称推广，使我们能够定义伪厄米共轭与合适的内积。在 1D 情形中，我们利用超对称自由粒子的共形生成元构造了一个具有 $N$ 个子系统的 $\mathcal{PT}$-不变超对称模型，并辨识出其完整的真玻色与费米运动积分集合。我们还研究了一种奇异的 $N=2$ 超对称推广，其中高阶超荷生成非线性超代数。我们将该构造推广至 2D 情形，得到变换为带与不带附加 Aharonov-Bohm 通量的自旋-1/2 Landau 问题的 $\mathcal{PT}$-不变超对称系统，其中在后一情形中，定义良好的运动积分仅当通量量子化时才出现。我们还构建了一个与由动力学参数 $\gamma$ 控制的“奇异旋转不变谐振子”系统相关的 2D 超对称哈密顿量。该模型的玻色与费米隐藏对称性被证明在 $\gamma$ 取有理值时存在。