与一般超曲面具有高接触的直线锥及其应用

给定 $\mathbb{P}^{n+1}$ 中次数为 $d\geqslant 2$ 的光滑超曲面 $X\subset \mathbb{P}^{n+1}$，我们研究由在点 $p\in X$ 处具有接触阶 $h\geqslant 2$ 的直线扫出的锥 $V^h_p\subset \mathbb{P}^{n+1}$。特别地，我们证明若 $X$ 是一般的，则对任意 $p\in X$ 及 $2 \leqslant h\leqslant \min\{ n+1,d\}$，锥 $V^h_p$ 的维数恰为 $n+2-h$。此外，当 $X$ 是次数 $d\geqslant 2n+2$ 的非常一般超曲面时，我们描述了锥 $V^h_p$ 与过 $X$ 一般点的 $k$ 维子簇的非理性度之间的关系。作为一个应用，我们给出了过 $X$ 一般点的 $k$ 维子簇的最小非理性度的一些界，并证明 $X$ 的连接 gonality 满足 $d-\left\lfloor\frac{\sqrt{16n+25}-3}{2}\right\rfloor\leqslant\conngon(X)\leqslant d-\left\lfloor\frac{\sqrt{8n+1}+1}{2}\right\rfloor$。