高维随机系数 AR(1) 过程与永续年金收敛的条件

$d$ 维 RCA(1) 过程是 $d$ 维 AR(1) 过程的推广，其系数 $\{M_t;t=1,2,\ldots\}$ 是独立同分布的随机矩阵。在 $d=1$ 的情况下，在非退化条件下，Goldie 和 Maller 给出了 RCA(1) 过程依分布收敛的充要条件，以及称为永续年金的相关随机变量之和几乎必然收敛的条件。我们在此证明，在条件 $\Vert {\prod_{t=1}^nM_t}\Vert \stackrel{\mathrm{a.s.}}{\longrightarrow}0$ 当 $n\to\infty$ 成立时，Goldie 和 Maller 的大部分结果可以推广到 $d>1$ 的情形。如果该条件不成立，则他们的部分结果无法推广。