大直径集合的凝聚与稠密化

考虑一个具有有限直径 $X$ 的整数集合 $\mathscr A$，以及要在 $\mathscr A$ 上求解的联立多项式方程组系统。在许多情形下，已知该系统的解的数量为 $O(X^\epsilon |\mathscr A|^\theta)$，其中 $\theta>0$ 适当且任意 $\epsilon>0$。当直径 $X$ 相对于 $|\mathscr A|$ 非常大，或等价地当集合 $\mathscr A$ 非常稀疏时，这些估计比平凡界更差。这引出了如下问题：寻求一个在某种意义下同构于 $\mathscr A$ 的新整数集合 $\mathscr B$，其性质为 $\mathscr B$ 的直径 $X'$ 小于 $X$，同时 $\mathscr B$ 保留所讨论方程组解集的显著特征。我们报告了关于这一与 Freiman 同态主题密切相关的问题的探索性研究。