量子态的集中界及多项式近似对 QAOA 的限制

我们证明了以下几类量子态的集中界： 浅层量子电路的输出态，回答了 [DPMRF22] 中的一个开放问题； 单射矩阵乘积态； 稠密哈密顿量演化的输出态，即对于任意 $n$ 比特乘积态 $|\psi_0\rangle$，形式为 $e^{\iota H^{(p)}} \cdots e^{\iota H^{(1)}} |\psi_0\rangle$ 的态，其中每个 $H^{(i)}$ 可以是满足范数约束的任意局部 commuting 哈密顿量，包括任意比特之间存在相互作用的稠密哈密顿量。我们的证明使用多项式近似来表明这些态接近于局部算子。这意味着计算基测量（及其他相关可观测量）的汉明重量分布是集中的。 的一个例子是量子近似优化算法（QAOA）产生的态。利用我们对这些态的集中结果，我们表明，对于随机自旋模型，在所谓重叠间隙性质的增强版本假设下，即使在超常数层 $p = o(\log \log n)$，QAOA 也只能以可忽略的概率成功。这给出了超常数层下 QAOA 在稠密实例上的首个限制，改进了近期结果 [BGMZ22]。