局部量子算法在随机 Max-k-XOR 及更广泛问题上的局限性

我们引入\emph{通用局部算法}的概念，它严格推广了诸如\emph{独立同分布因子}等现有局部算法框架，并涵盖了如量子近似优化算法（QAOA）这样的局部\emph{量子}算法。受 Farhi 等人 [arXiv:1910.08187, 2019] 问题的启发，我们随后展示了通用局部算法（包括 QAOA）在约束满足问题（CSPs）随机实例上的局限性。具体而言，我们表明，若问题满足统计物理中称为耦合重叠间隙性质（OGP）[Chen 等人，Annals of Probability, 47(3), 2019] 的几何性质，则任何对顶点的赋值仅依赖于含 $o(n)$ 个其他顶点的局部邻域（如深度小于 $\epsilon\log(n)$ 的 QAOA）的通用局部算法无法任意好地近似布尔 CSPs。我们通过推广稀化 $k$-自旋玻璃的相应结果，证明了随机 MAX-k-XOR 问题在 $k\geq4$ 为偶数时具有该性质。我们的集中引理证实了 Brandao 等人 [arXiv:1812.04170, 2018] 的猜想，即 QAOA 的景观独立性可扩展至对数深度——换言之，对于 QAOA 角度参数的每个固定选择，对数深度算法在几乎所有实例上表现几乎同样好。其中一个集中引理是 McDiarmid 不等式的强化，适用于随机变量具有高度偏倚分布的情形，可能具有独立意义。