Ising 模型 Level-1 QAOA 的近最优参数调优

量子近似优化算法（QAOA）是一种用于求解组合优化问题的混合量子-经典算法。QAOA 将解编码到 Hamiltonian 的基态中，该基态由一个 $p$ 层参数化量子电路近似，电路由问题 Hamiltonian 和混合 Hamiltonian 组成，其参数通过经典方式进行优化。虽然更深的 QAOA 电路可以提供更高的精度，但实际应用受到复杂参数优化和物理限制（如门噪声、有限的量子比特连通性以及态制备与测量误差）的约束，使得实现仅限于浅层深度。本工作聚焦于表示为 Ising 模型的 QUBO 问题的 QAOA$_1$（$p=1$ 时的 QAOA）。尽管 QAOA$_1$ 只有两个参数 $(\gamma, \beta)$，我们表明由于高度振荡的景观，其优化极具挑战性，且振荡速率随问题规模、密度和权重而增加。这种行为需要进行高分辨率网格搜索，以避免代价景观畸变导致得到不准确的最小值。我们提出了一种高效的优化策略，将二维 $(\gamma, \beta)$ 搜索降维为对 $\gamma$ 的一维搜索，其中 $\beta^*$ 通过解析计算得出。我们确定了精确映射 $\gamma$ 景观所需的最大允许采样周期，并提供了一种在多项式时间内估计最优参数的算法。此外，我们严格证明了，对于正则图，平均而言全局最优的 $\gamma^* \in \mathbb{R}^+$ 值集中在非常接近零的位置，并与第一个局部最优解重合，从而使得梯度下降可以替代穷举线搜索。该方法使用递归 QAOA（RQAOA）进行了验证，在所有测试的 QUBO 实例中，其表现始终优于粗略优化的 RQAOA 和半定规划。