平均化过程的集中性与局部光滑性

我们考虑离散 $d$ 维环面上的平均化过程。在该图上,已知该过程在扩散时间尺度上收敛到平衡,不表现出 cutoff。本工作中我们从两方面细化该图景。首先,我们证明了平均化过程围绕其均值的集中现象,发生在比其弛豫到平衡更短的时间尺度上。其次,我们建立了尖锐的梯度估计,刻画了其快速的局部光滑性质。这是首次能够量化平均化过程这两个特征——集中性与局部光滑性——的设定。这些特征携带了关于平均化过程若干大尺度性质的有用信息。作为例证,我们确定了其到平衡距离的极限轮廓,并推导了其定量流体力学极限。最后,我们讨论了它们对二项式分裂过程(平均化过程的粒子类比)cutoff 的启示。