无需高度计算稀疏多项式的多线性因子

我们提出了一种确定性算法，用于计算数域上多元稀疏多项式的多线性因子。其复杂度关于$\ell^n$是多项式的，其中$\ell$是输入多项式的稀疏大小，$n$是其变量个数，即特别是关于其度数的对数是多项式的。我们还为同一问题提供了一种随机化算法，其复杂度关于$\ell$和$n$是多项式的。在其他特征为零的域和大特征有限域上，我们的算法能计算具有至少三个单项式的多元多项式的多线性因子。我们提供了下界以解释我们算法的局限性。作为副产品，我们还为一些此前未知存在任何测试的多项式族设计了多项式时间的确定性多项式恒等式测试。我们的结果基于所谓的间隙定理（Gap Theorem），该定理将高次因式分解归约为重复的低次因式分解。虽然之前的算法使用了用系数高度表示的间隙定理，但我们的间隙定理仅依赖于多项式的指数。这使得我们的算法更加初等、通用，且在大多数情况下更快。