在半代数映射与图表上计算同调函子

开发具有单指数复杂度计算半代数集贝蒂数的算法一直是算法半代数几何中的圣杯，目前仅知部分结果。本文考虑更一般的问题：计算闭且有界半代数集之间半代数映射 $f:X \rightarrow Y$ 在同调函子下的像。对每个固定的 $\ell \geq 0$，我们给出一种单指数复杂度算法，计算同调群 $\mathrm{H}_i(X), \mathrm{H}_i(Y)$（有理系数）的基，以及在这些基下诱导线性映射 $\mathrm{H}_i(f):\mathrm{H}_i(X) \rightarrow \mathrm{H}_i(Y), 0 \leq i \leq \ell$ 的矩阵。我们将该算法推广到闭且有界半代数集之间映射的更一般（zigzag）图表，并给出在此类图表上计算同调函子的单指数算法。这使我们能给出在小维度上计算半代数zigzag持续同调条形码的单指数复杂度算法。