有限阿贝尔群上稀疏傅里叶平方和证书的拟线性时间计算

验证有限阿贝尔群上函数的非负性是一个长期存在的难题。有限群表示论的基本理论表明，有限阿贝尔群 $G$ 上的函数 $f$ 可写为 $G$ 的不可约表示的特征的线性组合：$f(x)=\sum_{\chi \in \widehat{G}} \widehat{f} (\chi)\chi(x)$，其中 $\widehat{G}$ 是由 $G$ 的所有特征组成的对偶群，$\widehat{f} (\chi)$ 是 $f$ 在 $\chi \in \widehat{G}$ 处的傅里叶系数。本文中，我们展示通过执行快速（逆）傅里叶变换，能够以复杂度 \if $\operatorname{O}\left(|G| \log(|G|)+\log(k_{\min})\operatorname{SDP}(2k_{\min})\right)$\fi 计算 $G$ 上 $f$ 的稀疏傅里叶平方和（FSOS）证书，该复杂度关于 $G$ 的阶拟线性，且关于 $f$ 的 FSOS 稀疏度 \if $k_{\min}$\fi 为多项式。此外，对于有限阿贝尔群 $G$ 上的非负函数 $f$ 及集合 $S \subset \widehat{G}$，我们给出常数 $M$ 的下界，使得 $f+M$ 容许支撑于 $S$ 的 FSOS。我们通过在阶数高达 $10^7$ 的多种阿贝尔群上的数值实验证明了所提算法的效率。作为应用，我们还通过稀疏 FSOS 解决了若干组合优化问题以及 \if $\mathbb{T}^n$\fi 上的厄米平方和（SOHS）问题。