计算 Moore、Wythoff 与 Euclid 博弈的 remoteness 函数

Endre Boros; Vladimir Gurvich; Kazuhisa Makino; Michael Vyalyi

计算 Moore、Wythoff 与 Euclid 博弈的 remoteness 函数

组合数学 2023-11-07 v1 计算机科学与博弈论

作者: Endre Boros , Vladimir Gurvich , Kazuhisa Makino , Michael Vyalyi

摘要

我们研究 Smith 于 1966 年引入的公平博弈的 remoteness 函数 $\mathcal R$ 。从位置 $x$ 移动的玩家能够获胜当且仅当 $\mathcal R(x)$ 为奇数。 $\mathcal R(x)$ 的奇数值表明获胜者能多快获胜,而偶数值表明在双方均最优博弈的前提下失败者能抵抗多久。该函数可应用于公平博弈的合取复合,正如 Sprague-Grundy 函数适用于其析取复合一样。我们提供了计算 Euclid 博弈与广义 Wythoff 博弈的 $\mathcal R(x)$ 的多项式算法。对于 Moore 的 NIM,我们给出了当 $\mathcal R(x)$ 为偶数时的简单显式公式,并证明对其奇数值的计算成为 NP-hard 问题。

关键词

remoteness 函数公平博弈 Moore 的 NIM Wythoff 博弈 Euclid 博弈多项式算法 NP-hard

引用

@article{arxiv.2311.02685,
  title  = {Computing Remoteness Functions of Moore, Wythoff, and Euclid's games},
  author = {Endre Boros and Vladimir Gurvich and Kazuhisa Makino and Michael Vyalyi},
  journal= {arXiv preprint arXiv:2311.02685},
  year   = {2023}
}

备注

22 pages

计算 Moore、Wythoff 与 Euclid 博弈的 remoteness 函数

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关键词

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