计算交叉场——一种基于 Ginzburg-Landau 理论的偏微分方程方法

本文提出了一种基于 Ginzburg-Landau 理论计算交叉场的方法。Ginzburg-Landau 泛函包含两项：分布的狄利克雷能，以及惩罚分布的固定范数与实际范数之间失配的项。已知曲面上的方向场具有一定数量的临界点，这些临界点可通过 Ginzburg-Landau 方法被正确识别：Ginzburg-Landau 问题的渐近行为在二维流形上提供了分布均匀且指标尽可能低的临界点。本文的核心思想是利用这一理论背景在任意曲面上进行交叉场计算。此类交叉场在生成四边形单元网格中起着重要作用。因此，首先回顾了四边形网格的拓扑性质与交叉场之间的关系。随后表明，曲面上的交叉场可以表示为具有若干临界点的单位范数复函数，即在复平面单位圆上取值且几乎处处光滑的函数。由于交叉场的最大平滑度等价于最小能量，交叉场问题等价于基于 Ginzburg-Landau 泛函的优化问题。本文应用了采用 Crouzeix-Raviart 元的离散化方案，并通过与分析解的比较，在单位圆盘上验证了所得有限元公式的正确性。该方法还被应用于二维球面，令人惊讶但正确的是，计算出的临界点并非位于立方体的顶点处，而是位于反立方体的顶点处。