任意维超立方晶格结构 Madelung 常数的计算

本文给出了一种计算任意维数 $n\geq 2$ 下超立方晶格结构 Madelung 常数的新方法。对于 $n\geq 3$，Madelung 常数可以以一种简单、高效且明确的方式，作为晶体内势能的积分表示的 Hadamard 有限部分来获得，该积分表示在任意点电荷位置处是发散的。由于势能奇点的对数性质，这种正则化方法在二维情形下失效。在这种情况下，考虑到 Poisson 方程的标度不变性以及平面上每个点电荷存在有限视界，本文提出了一种特定方法。由于二维静电势的封闭形式精确解可以被推导出，因此可以证明 Madelung 常数可以通过适当的极限计算，被定义为构成晶胞的电荷势能的平均值。