单调信号的压缩感知与最优去噪

我们考虑单调（即 $\mathbf{x_0}(i+1) \geq \mathbf{x_0}(i)$）且稀疏变化（即仅对少量 $k$ 个索引 $i$ 满足 $\mathbf{x_0}(i+1) > \mathbf{x_0}(i)$）的信号 $\mathbf{x_0}\in\mathbb{R}^N$ 的压缩感知与最优去噪问题。我们通过在满足由若干测量值 $A\mathbf{x_0}$ 得到的等式约束条件下，最小化限制在单调信号类上的全变差范数来处理压缩感知问题。对于随机高斯感知矩阵 $A\in\mathbb{R}^{m\times N}$，我们推导出了以高概率成功重构所需测量数 $m$ 的闭式表达式。我们证明该概率随 $m$ 的变化经历相变，且不仅取决于变点的数量，还取决于其位置。对于去噪，我们使用相同的范数进行正则化，并推导出仅轻微依赖于 $\mathbf{x_0}$ 的最优正则化权重公式。我们使用统计维度工具获得了这些结果。