超对称系统的复杂性与上同调问题

我们考虑具有 $\mathcal N=2$ 超对称的费米子哈密顿量中局域哈密顿量问题的复杂性，并证明该问题仍为 $\mathsf{QMA}$-完全。我们研究此问题的主要动机在于一个熟知事实：超对称系统的基态能量恰为零，当且仅当某一上同调群非平凡。这为将哈密顿量复杂性工具引入研究同调代数中大量算法问题（包括代数拓扑、代数几何与群论中的问题）的计算复杂性打开了大门。我们朝此方向迈出第一步，引入 $k$-局域上同调问题，并证明其是 $\mathsf{QMA}_1$-困难的，且对一大类实例包含于 $\mathsf{QMA}$ 中。接着我们考虑估计归一化 Betti 数的复杂性，证明该问题对量子复杂性类 $\mathsf{DQC}1$ 是困难的，且对一大类实例包含于 $\mathsf{BQP}$ 中。鉴于这些结果，我们认为将这些同调问题表述为寻找超对称费米子系统的基态问题是自然的。作为该视角的示例，我们详细讨论了 Fendley、Schoutens 与 de Boer 的模型：图上的硬核费米子，其基态结构编码了图独立复形中的 $l$ 维洞。这为现有的拓扑数据分析量子算法提供了新视角，并暗示了新的算法。