超越基态能量的平移不变问题的复杂性

已知关于局域哈密顿量的三个基本问题——近似基态能量（局域哈密顿量问题）、在基态空间上模拟局域测量（APX-SIM）、以及判定低能空间是否存在能垒（GSCON）——分别是对 $\mathsf{QMA}$、$\mathsf{P}^{\mathsf{QMA}[log]}$ 和 $\mathsf{QCMA}$ 难的，意味着即便在量子计算机上它们也可能难以处理。然而，尽管局域哈密顿量问题的难解性已知对平移不变系统亦成立，APX-SIM与GSCON在此类“简单”系统中是否仍难尚未可知。本工作中，我们证明APX-SIM与GSCON的平移不变版本依旧难解，即分别为 $\mathsf{P}^{\mathsf{QMA}_{\mathsf{EXP}}}$- 与 $\mathsf{QCMA}_{\mathsf{EXP}}$-完全的。各结果均通过给出相应的通用“提升定理”以产生难解性而获得。例如对APX-SIM，我们给出将任意抽象局域电路到哈密顿量映射 $H$（满足温和假设）提升为 $H$ 所产生哈密顿量族上APX-SIM难解性的框架，同时保持 $H$ 的结构与几何性质（如平移不变性、几何、局域性等）。各结果亦利用了我们构造的反直觉性质：对APX-SIM，我们将对QMA预言机的多项式多并行查询的答案“压缩”进单个量子比特；对GSCON，我们给出对高度非局域酉变换鲁棒的难解性构造，即即便对手在每步作用于系统中除一个准粒子外的所有准粒子。