奇异方案上微分模复形的完备化

Spencer 上同调理论研究光滑解析空间上微分算子环 $\mathscr{D}$ 的模链复形的上同调。在本文中，我们给出了 Spencer 上同调在有限型奇异方案上的推广。我们的动机来自 Vinogradov 关于奇异仿射簇上微分算子同调性质的一个猜想；即，某些此类算子的复形是正合的当且仅当该簇是光滑的。我们将对 Vinogradov 猜想（按其原始陈述）给出否定回答。从原则上讲，Vinogradov 猜想也可以针对一般的 $\mathscr{D}$-模的 Spencer 复形来提出——然而答案是平凡的，因为奇异性阻碍了具有良好性质的 Spencer 上同调的定义。我们的主要结果将是在一大类奇异方案上构造一个适合作为该空间上同调理论的 Spencer 复形。在此之后，我们可以在此情形下提出与 Vinogradov 相同的问题，并给出一个更为肯定的回答。我们的主要技术借鉴了 Hartshorne 关于通过形式完备化构造 de Rham 上同调的方法。