散射振幅集合的完备性

设 $f\in L^2(S^2)$ 为单位球面 $S^2$ 上范数任意固定的小函数，$D\subset \R^3$ 为任意固定的有界域。$k>0$ 与 $\alpha\in S^2$ 固定。证明存在势 $q\in L^2(D)$，使得相应散射振幅 $A(\alpha')=A_q(\alpha')=A_q(\alpha',\alpha,k)$ 以任意高精度逼近 $f(\alpha')$：$\|f(\alpha')-A_q(\alpha')_{L^2(S^2)}\|\leq\ve$，其中 $\ve>0$ 为任意固定的小正数。这意味着集合 $\{A_q(\alpha')\}_{\forall q\in L^2(D)}$ 在 $L^2(S^2)$ 中完备。该结果可用于构建纳米技术意义上的“智能材料”。