稠密图中哈密顿圈的相容幂

受 Kotzig 于 1968 年研究的转移系统概念启发，Krivelevich、Lee 和 Sudakov 提出了一种更一般的非相容系统概念，以刻画 Dirac 图哈密顿性的鲁棒性。给定图 $G=(V,E)$，定义在 $G$ 上的非相容系统 $\mathcal{F}$ 是一族 $\mathcal{F}=\{F_v\}_{v\in V}$，使得对每个 $v\in V$，$F_v$ 是边对 $\{\{e,e'\}: e\ne e'\in E, e\cap e'=\{v\}\}$ 的一个族。若对每个顶点 $v$ 和每条与 $v$ 关联的边 $e$，$F_v$ 中至多含 $\Delta$ 个包含 $e$ 的边对，则称非相容系统 $\mathcal{F}$ 是 $\Delta$-有界的。图 $G$ 的子图 $H$ 若满足其每一对相邻边 $e,e'$ 都有 $\{e,e'\} \notin F_v$（其中 $v=e\cap e'$），则称 $H$ 是相容的（相对于 $\mathcal{F}$）。Krivelevich、Lee 和 Sudakov 证明存在普适常数 $\mu>0$，使得对 Dirac 图上每个 $\mu n$-有界非相容系统 $\mathcal{F}$，均存在相容哈密顿圈，从而解决了 H\"{a}ggkvist 于 1988 年提出的一个猜想。我们在该背景下研究哈密顿圈的高次幂，并证明对每 $\gamma>0$ 和 $k\in\mathbb{N}$，存在常数 $\mu>0$，使得对充分大的 $n\in\mathbb{N}$ 以及定义在 $n$ 顶点图 $G$ 上且 $\delta(G)\ge(\frac{k}{k+1}+\gamma)n$ 的每个 $\mu n$-有界非相容系统，在 $G$ 中存在相容的哈密顿圈的第 $k$ 次幂。此外，我们给出一个最小度数为 $\frac{k}{k+1}n+\Omega(n)$ 且不含相容哈密顿圈第 $k$ 次幂的构造。