几何图形的比较

尽管图形的几何相等已被充分研究,关于不等图形的比较却少有工作。我们惯于只比较相似图形,但比较非相似图形是否有意义?本文试图构建一个能够对甚至非相似图形进行比较的语境。采用 Klein 关于欧几里得几何的观点,我们定义关系 "<=" 为:当存在刚体运动 f 使得 f(S) 是 T 的子集时, S<=T。此关系不是序,因为存在图形(平面的子集)使得 S<=T、T<=S 但 S、T 不几何相等。我们的目标是避免这一悖论并找出使关系 "<=" 至少成为偏序的非平凡图形类。这样的类被称为良图形类。一个合理的问题是:构成良图形类的图形是否具有某些性质,以及这些图形的代数是否也是良图形类。因此我们将图形分类为引发上述悖论者与绝不引发者。后者称为良图形。尽管简单,良图形的定义难以处理,因此我们引入一个更技术化但内蕴且简便的定义,即强良图形。借助这些工具我们构建了一个新的语境,在其中扩展了关于几何比较的视角,不仅在欧几里得几何中,也在双曲与椭圆几何中。最后,仍有一些开放且颇具挑战的问题,我们在论文末部分给出。