为广义俄罗斯卡片问题提供改进安全性的组合解决方案

我们首次给出了广义俄罗斯卡片问题的正式数学表述，并提供了严格的安全性定义，涵盖了弱安全性和完美安全性的基本版本与扩展版本。在广义俄罗斯卡片问题中，三位玩家Alice、Bob和Cathy分别被发到一副$n$张牌中的$a$、$b$和$c$张牌。目标是通过公共通信让Alice和Bob了解彼此的手牌，同时Cathy无法得知任何特定牌的去向。基本思路是Alice宣布一组她可能持有的手牌集合，Bob利用自己手牌的知识应能从该宣布中推断出Alice的牌，而Cathy则不能。通过组合方法，我们能够给出信息性策略（即允许Bob学习Alice手牌的策略）的一个优美刻画，该策略具有最优通信复杂度，即Alice宣布的可能手牌集合必须等价于一个大的$t-(n, a, 1)$-设计集，其中$t=a-c$。我们还为某些类型的发牌同时具有信息性和安全性提供了有趣的必要条件。即，对于满足$c = a-d$（其中$d \geq 2$）且$b \geq d-1$的发牌，并假设策略满足强安全性（即完美$(d-1)$-安全性），我们证明$a = d+1$，从而$c=1$。我们还给出了形式为$(d+1, b, 1)$且满足$b \geq d-1$的信息性且完美$(d-1)$-安全发牌的精确刻画，其中涉及$d-(n, d+1, 1)$-设计。