Cantor 实数基下惰性展开的组合性质

实数基 $\beta$ 的惰性算法被推广至 Charlier 与作者近期引入的 Cantor 基 $\boldsymbol{\beta}=(\beta_n)_{n\in \mathbb{N}}$ 的情形。为此，令 $x_{\boldsymbol{\beta}}$ 为具有 $\boldsymbol{\beta}$-展开 $a_0a_1a_2\cdots$ 且每个字母 $a_n$ 属于 $\{0,\ldots,\lceil \beta_n \rceil -1\}$ 的最大实数。本文研究当 $x_{\boldsymbol{\beta}}<+\infty$ 时定义的惰性 $\boldsymbol{\beta}$-展开的组合性质。作为示例，研究了遵循 Thue-Morse 序列的 Cantor 基，并证明了给出其对应 $x_{\boldsymbol{\beta}}$ 值的公式。首先，表明惰性 $\boldsymbol{\beta}$-展开通过对贪婪 $\boldsymbol{\beta}$-展开的数字进行“翻转”得到。其次，证明了一个类 Parry 判据，刻画了作为 $(x_{\boldsymbol{\beta}}-1,x_{\boldsymbol{\beta}}]$ 中某实数之惰性 $\boldsymbol{\beta}$-展开的非负整数序列。此外，研究了惰性 $\boldsymbol{\beta}$-移位，并在交替基（即周期 Cantor 基）的特殊情形下，证明了惰性框架中 Bertrand-Mathis 定理的类似结论：惰性 $\boldsymbol{\beta}$-移位是 sofic 的，当且仅当所有 $x_{\boldsymbol{\beta}^{(i)}}-1$ 的拟惰性 $\boldsymbol{\beta}^{(i)}$-展开最终周期，其中 $\boldsymbol{\beta}^{(i)}$ 为交替基 $\boldsymbol{\beta}$ 的第 $i$ 次移位。