基于重叠间隙性质的 combinatorial NLTS

在近期一项重要进展中，Anshu、Breuckmann 和 Nirkhe [ABN22] 肯定地解决了 Freedman 和 Hastings 提出的所谓无低能平凡态（NLTS）猜想。该猜想假定存在作用于 n 量子比特系统的线性尺度局域哈密顿量，其任何近基态都无法由浅（亚对数深度）电路制备。文献 [ABN22] 中的构造基于近期发展的优良量子码。该方向上的早期结果包括所谓 Combinatorial NLTS（组合 NLTS）——NLTS 的较弱版本——的构造，其中若态至多违反消失比例的哈密顿量项，则被定义为具有低能 [AB22]。这些构造同样基于量子码。本文中，我们给出一类满足 Combinatorial NLTS 的哈密顿量的“非码”构造。该构造受 [AB22] 中某一构造启发，但我们的证明使用随机 K-SAT 的复解空间几何而非码的性质。具体而言，已知在某一子句-变量密度之上，随机 K-SAT 的满足指派集合呈现出重叠间隙性质，这意味着它可被划分为指数多个簇，每个簇至多占满足解总数的指数小比例。我们为近满足指派空间建立了该聚类性质的某种鲁棒版本，并证明对我们构造的哈密顿量，每个组合近基态都诱导出由该集合支撑的近均匀分布。随后用标准论证表明此类分布无法由深度 o(log n) 的量子电路制备。由于许多随机结构（包括正常着色和最大割）均呈现该聚类性质，我们预期我们的方法也可推广至这些模型。