平方格点上 $2\times2$ 方块随机堆积中的柱状序

我们研究中心位于平方格点 $\mathbb{Z}^{2}$ 上的 $2\times2$ 方块的随机堆积，其中某一堆积的概率正比于 $\lambda$ 的方块数次方。我们证明对于大 $\lambda$，典型堆积呈现柱状序，即大多数砖块的中心就它们的 $x$ 坐标奇偶性达成一致，或大多数砖块的中心就它们的 $y$ 坐标奇偶性达成一致。这体现为存在四种极值的周期性 Gibbs 测度，其中格点的旋转对称性被破坏，而平移对称性仅沿单一轴被破坏。我们进一步量化了这些测度中关联的衰减，在保持的平移对称性方向上获得缓慢的指数衰减率，在破坏的平移对称性方向上获得快速的指数衰减率。最后，我们证明每个周期性 Gibbs 测度都是这四种测度的混合。此外，我们的证明引入了棋盘估计的一种显然新颖的推广，从有限体积环面测度推广到所有无限体积周期性 Gibbs 测度。