局部系数上同调与纽结流形

我们展示了如何将局部系数上同调、CW 复形、覆盖空间、同胚等价、简单同伦等价、管状邻域与自旋等经典概念在计算机上编码，并用于计算一个拓扑流形到另一个拓扑流形连续嵌入 $N\hookrightarrow M$ 的环境同位素不变量。更具体地，我们描述了一种在有限生成 $\mathbb Z\pi_1X$-模 $A$ 上计算有限连通 CW 复形 X 带局部系数同调 $H_n(X,A)$ 与上同调 $H^n(X,A)$ 的算法，其中 $A$ 在 $\mathbb Z$ 上有限生成。特别地，它可用于计算与有限指数子群 $H < \pi_1X$ 相关联的覆盖映射 $p\colon \widetilde X_H \rightarrow X$ 的整上同调 $H^n(\widetilde X_H,\mathbb Z)$ 及诱导同态 $H^n(X,\mathbb Z) \rightarrow H^n(\widetilde X_H,\mathbb Z)$，以及相应的同调同态。我们借助一个开源算法实现予以演示：用它表明 (i) 2 次同调群 $H_2(\widetilde X_H,\mathbb Z)$ 可区分 $\mathbb R^4$ 中自旋 Hopf 链与 Satoh 焊接 Hopf 链的管映射补集 $X\subset \mathbb R^4$ 的同伦型（这两类补集具有同构基本群与整同调）；(ii) 1 次同调同态 $H_1(p^{-1}(B),\mathbb Z) \rightarrow H_1(\widetilde X_H,\mathbb Z)$ 可区分 $\mathbb R^3$ 中 granny 结与 reef 结补集 $X\subset \mathbb R^3$ 的同胚型，其中 $B\subset X$ 为纽结边界（这两类补集同样具有同构基本群与整同调）。