Magnus 展开的上同调方面

我们推广了自由群的 Magnus 展开的概念，以便将定义在带一个边界分支的曲面的 Torelli 群的一个递减 filtration 上的每个 Johnson 同态扩展到整个自由群自同构群 $\operatorname{Aut}(F_{n})$。扩展后的映射并非同态，但满足无穷序列的上边缘关系，因此我们称之为 Johnson 映射。在本文中我们仅限于研究第一和第二个关系，它们关于群 $\operatorname{Aut}(F_{n})$ 以及曲面的映射类群具有上同调推论。第一个关系意味着第一个 Johnson 映射是群 $\operatorname{Aut}(F_{n})$ 的一个 twisted 1-闭上链。它的上同调类与曲面的映射类群上所有 Morita-Mumford 类的“唯一基本粒子”相一致 [Ka1] [KM1]。限制在映射类群上的第二个关系等于 Garoufalidis 和 Nakamura [GN] 提出并由 Morita 和作者 [KM2] 建立的 twisted Morita-Mumford 类之间的一个基本关系。这意味着我们给出了该基本关系的一个简单且连贯的证明。第一个 Johnson 映射以显式方式给出了自由群的诱导自同构群 $IA_n$ 的交换化。