曲线近似最近邻：简单、高效且确定性

在某种距离度量 $\delta$ 下的曲线 $(1+\varepsilon,r)$-近似近邻问题 (ANNC) 中，目标是为给定曲线集 $\mathcal{C}$ 构建支持近似近邻查询的数据结构：给定查询曲线 $Q$，若存在曲线 $C\in\mathcal{C}$ 使得 $\delta(Q,C)\le r$，则返回曲线 $C'\in\mathcal{C}$ 满足 $\delta(Q,C')\le(1+\varepsilon)r$。存在从 $(1+\varepsilon)$-近似最近邻问题到 ANNC 的高效归约，其中在前一问题中查询的答案是曲线 $C\in\mathcal{C}$ 满足 $\delta(Q,C)\le(1+\varepsilon)\cdot\delta(Q,C^*)$，其中 $C^*$ 是 $\mathcal{C}$ 中离 $Q$ 最近的曲线。给定由 $n$ 条曲线组成的集合 $\mathcal{C}$，每条曲线由 $d$ 维空间中的 $m$ 个点组成，我们构建了用于 ANNC 的数据结构，其存储空间为 $n\cdot O(\frac{1}{\varepsilon})^{md}$，查询时间为 $O(md)$（对长度为 $m$ 的查询曲线），其中两曲线间的相似度为其离散 Fr\'echet 或动态时间规整距离。我们的方法易于实现、确定性，并且与之前所有界限相比在查询时间和存储空间上均实现了指数级改进。此外，我们还考虑了 ANNC 的非对称版本，其中查询曲线长度为 $k \ll m$，并获得了与上述基本相同的存储和查询界限，只是 $m$ 被 $k$ 替代。最后，我们将我们的方法应用于曲线的一种近似范围计数版本并获得了类似界限。