分层随机沉积模型中海岸线与渗流

我们重新考察一个已知模型，其中（导电）块体依据双曲尺寸律按层次随机沉积在 $d$ 维基底上，块体尺寸在每一后续代中按因子 $\lambda \, > 1$ 减小。本文第一部分计算了海岸点（在 $D=1$ 时）或海岸线（在 $D=2$ 时）的数目，这些点或线分隔了“海平面”区域与抬升区域。我们发现该数目具有非普适特征，意味着在沉积概率 $P$ 的阈值 $P_c$ 以下为欧几里得几何，而在该值以上为分形几何。恰在阈值处，几何为对数分形。$D=2$ 中海岸线数目恰好为 $D=1$ 中海岸点数目的两倍。我们简要评论表面形貌并导出粗糙度指数 $\alpha$。第二部分中，我们研究该模型及两个扩展模型中电流的渗流概率，其中尺度因子与沉积概率在各代之间可取不同值。我们发现渗流阈值 $P_c$ 与海岸点数目阈值概率的沉积概率取值完全相同。这一巧合表明，恰在导电通路渗流起始时，海岸点数目呈现对数分形行为。