一元代数 Ramsey 度的余代数方法

在本文中，我们关注任意（不必有限）代数语言 $\Omega$ 下有限一元代数类的有小 Ramsey 度与大 Ramsey 度的存在性。我们将一元代数视为 $M$-集，其中 $M = \Omega^*$ 是字母表 $\Omega$ 上字构成的自由幺半群，并证明对任意幺半群 $M$（有限或无限），所有有限 $M$-集的类具有有限小 Ramsey 度。这立即蕴含：对任意群 $G$（有限或无限），所有有限 $G$-集的类具有有限小 Ramsey 度；以及对任意（有限或无限）代数语言 $\Omega$，所有有限一元代数的类具有有限小 Ramsey 度。这推广了 M. Sokić 关于有限语言下有限一元代数及有限群 $G$ 的有限 $G$-集的一些 Ramsey 型结果。为此，我们发展了一种全新策略，依赖于右伴随保持 Ramsey 性质这一事实。随后我们将 $M$-集视为“半余单子”的 Eilenberg-Moore 余代数，并利用预伴随将我们感兴趣的 Ramsey 性质从有限或可数无限链（序型 $\omega$）的范畴迁移过来。此外，我们证明了在具有可数多个生成元的相应余自由结构中，有限对象具有有限大 Ramsey 度。