系统发育网络的聚类系统

当有根无环图所刻画的分类群集合 $X$ 的系统发育关系不仅涉及物种形成，还涉及重组、水平转移或杂交（这些无法由树捕捉）时，此类图便自然出现。文献中已讨论过多种此类网络的类别，包括系统发育网络、level-1 网络、树-子网络、基于树网络、galled tree 网络、正则网络或正规网络，作为不同类型进化过程的模型。聚类在系统发育模型中表现为顶点 $v$ 的后代分类群集合 $\mathtt{C}(v)$。由网络 $N$ 的所有聚类构成的聚类系统 $\mathscr{C}_N$ 传达了关于 $N$ 本身的关键信息。在有根系统发育树这一特例中，树 $T$ 由其聚类系统 $\mathscr{C}_T$ 唯一确定。尽管这对一般网络不再成立，但将 $N$ 与 $\mathscr{C}_N$ 的性质相关联仍具意义。在此，我们系统研究了若干被广泛研究的网络类别与其聚类系统之间的关系。主要结果是如下形式的网络类别与聚类系统的对应：若 $N$ 为 $\mathbb{X}$ 型网络，则 $\mathcal{C}_N$ 满足 $\mathbb{Y}$；反之，若 $\mathscr{C}$ 为满足 $\mathbb{Y}$ 的聚类系统，则存在 $\mathbb{X}$ 型网络 $N$ 使得 $\mathscr{C}\subseteq\mathscr{C}_N$。这进而使我们能够细致考察不同网络类型之间的相互依赖关系。