一维三色与四色循环粒子系统中的聚集现象

我们研究一维整数格 $\mathbb{Z}$ 上的 $\kappa$-色循环粒子系统，该系统由 Bramson 和 Griffeath 在 \cite{bramson1989flux} 中首次引入。在该论文中他们证明了：若 $\kappa\in \{3,4\}$，则几乎必然每个位点都无限次改变颜色；若 $\kappa\ge 5$，则仅有限次改变颜色。此外，他们猜想对于 $\kappa\in \{3,4\}$ 系统会发生聚集，即对任意位点对 $x,y$，当 $t\to\infty$ 时，$x$ 和 $y$ 在时间 $t$ 具有相同颜色的概率趋于 1。在此我们证明该猜想。