源于簇管的簇代数 II：Caldero-Chapoton 映射

我们继续对源于簇管的簇代数进行研究。设 $\mathcal{C}$ 为秩 $n+1$ 的簇管。对于 $\mathcal{C}$ 的任意基础极大刚性对象 $T$，可以关联一个斜对称化整数矩阵 $B_T$，从而将簇代数 $\mathcal{A}(B_T)$ 关联于 $T$。我们为每个不可分解刚性对象 $M\in \mathcal{C}$ 定义了一个类似的 Caldero-Chapoton 映射 $\mathbb{X}_M^T$，并证明 $\mathbb{X}_?^T$ 给出了 $\mathcal{C}$ 的不可分解刚性对象与簇代数 $\mathcal{A}(B_T)$ 的簇变量之间的一个双射。Caldero-Chapoton 映射的构造涉及 $T$ 的自同态代数上局部自由子模的 Grassmanian。我们还表明，局部自由子模的 Grassmanian 上存在一个非平凡的 $\mathbb{C}^{\times}$-作用，这具有独立的研究价值。