基于 Carleman 方法对扩散过程在维数 $d$ 上的分类及其关于加法、乘法或平方根噪声的应用

Carleman 方法在确定性经典动力学领域广为人知，用于将有限个 $d$ 个非线性微分方程替换为无限维线性系统。本文将该方法应用于 $d$ 个随机微分方程 $[x_1(t),..,x_d(t)]$，当力和扩散矩阵元素为多项式时，可用于编写由 $d$ 个整数 $(n_1,..,n_d)$ 标记的平均值 ${\mathbb E} ( x_1^{n_1}(t) x_2^{n_2}(t) ... x_d^{n_d}(t) )$ 的线性系统。将 Carleman 矩阵分解为与全局度 $n=n_1+n_2+..+n_d$ 相关的块，有助于识别具有最简单谱分解的模型，即右与左特征向量形成的 biorthogonal 基。随后将该分析应用于单坐标一种噪声或两种噪声的模型，可为 $d=1,2$ 中的诸多实例提供参考。在 $d=1$ 情况下，支配 ${\mathbb E} ( x^{n}(t) )$ 动力学的 Carleman 矩阵在几何布朗运动中为对角矩阵，而在包含 Ornstein-Uhlenbeck、Square-Root、Kesten、Fisher-Snedecor 和 Student 过程的 Pearson 扩散族中为下三角矩阵；这些过程在稳态趋向幂律尾分布。在维数 $d=2$ 时，支配 ${\mathbb E} ( x_1^{n_1}(t) x_2^{n_2}(t) )$ 动力学的 Carleman 矩阵自然分解为与全局度 $n=n_1+n_2$ 相关的块，我们讨论了 Carleman 矩阵为块对角、块下三角或块上三角的最简单模型。