类选择与凯利-莫尔斯集合论令人惊讶的弱点

凯利-莫尔斯集合论KM比通常设想的要弱，并且无法证明在基础性的二阶集合论中可能需要的若干原则。例如，尽管KM包含了全局选择原则，(i) KM不能证明类选择模式，该模式断言：每当每个集合$x$都承认一个满足$\varphi(x,X)$的类$X$时，就存在一个类$Z\subseteq V\times V$，使得在每个截面上都有$\varphi(x,Z_x)$。即使对于低复杂度的$\varphi$的一阶实例，并且即使只涉及一组有限的索引$x$，该模式也可能在KM中失效。出于密切相关的原因，(ii) 理论KM不能证明内部二阶超幂的Łoś定理模式，即使对于大基数超幂（例如，可测基数上的正规测度超幂）也是如此。实际上，理论KM本身通常不被内部超幂保持。最后，(iii) KM不能证明$\Sigma^1_n$逻辑复杂度在一阶量词（甚至是有界一阶量词）下是不变的。例如，当$\psi$是$\Sigma^1_1$断言时，$\forall \alpha{<}\delta\ \psi(\alpha,X)$并不总是可证明等价于一个$\Sigma^1_1$断言。然而，KM的这些弱点可以通过增加类选择模式来解决，从而形成理论KM+，我们提议将其作为二阶集合论基础中一个稳健的KM替代方案。