ZFC 证明序数类对于可定义类不是弱紧致的

我们证明所有序数构成的类 Ord 对于可定义类不是弱紧致的。具体而言，在 ZFC 的任何模型中，Ord 的可定义树性质不成立，即存在一个没有可定义共尾分支的可定义 Ord 树；可定义划分性质不成立，即存在某个可定义真类的元素对的 2-染色，没有可定义的齐次真类；且对于 $\mathcal{L}_{\infty,\omega}$，可定义紧致性质不成立，即该逻辑中存在一个可定义理论，其所有集合大小的子理论都是可满足的，但该理论没有可定义的真类模型。此外，我们证明可定义钻石原则 $\Diamond_{\rm Ord}$ 成立当且仅当存在宇宙的一个可定义良序。并且我们证明所有斯巴达模型的哥德尔-伯奈斯集合论（即仅具有可定义类的模型）的共同理论是 $\Pi^1_1$-完备的。